Estudiantes de A y PL Programa ANALISIS DE COSTOS Y PRESUPUESTOS
La habilitación será el Jueves 10 de Junio a las 7 PM. Recuerden llevar el recibo de pago
Guillermo Moncada
Profesor
lunes, 24 de mayo de 2010
viernes, 21 de mayo de 2010
Estadística
Trabajos aplicando los conceptos básicos de medidas de tendencia central y medidas de dispersión, se encontrarán en los comentarios
lunes, 10 de mayo de 2010
Ejercicios sobre la circunferencia
Acá se relacionan algunos ejercicios propuestos acerca de la circunferencia,elaborados por el Profesor Carlos Vargas del Politécnico Jaime Isaza Cadavid, revisados y complementados por el Profesor Guillermo L. Moncada T.
1. En una C(O; r) se trazan un diámetro AB y un radio OC perpendicular a AB ; se prolonga AB a cada lado y en el exterior de la circunferencia en longitudes iguales AE=BD; se trazan CE y CD que cortan a la circunferencia en F y G. Probar que: ángulo OFC=ángulo OGC.
2. Un Triángulo ABC está inscrito en una C(O; r); sus alturas se cortan en H. Demostrar que la recta que une el punto medio N de AH con el punto medio P de AB es paralela a la recta que une O con el punto medio Q de AC . Demostrar que OPNQ es un paralelogramo.
3. Desde el vértice A de un Triángulo ABC equilátero, se traza el arco menor de la circunferencia que pasa por B y C; se toma sobre este arco el punto D y se trazan DB y DC . Demostrar que la recta que une el punto medio del radio AB con el punto medio de DC es perpendicular a la recta que une el punto medio AC con el punto medio de DB .
4. En una C(O;r) un diámetro AB y una cuerda AC forman un ángulo de 30°; se traza la tangente en el punto C que corta al diámetro prolongado en el punto D. Demostrar que el Triángulo ACD es isósceles.
5. En una semicircunferencia de radio dado R inscribir una circunferencia de radio dado r. ¿ Cuál condición deben cumplir los radios R y r para que exista una única solución?, ¿Para dos soluciones?.
6. En una C(O;r) se trazan por los extremos de un diámetro AB dos cuerdas paralelas AC y BD . Probar que ángulo ACO =ángulo BDO.
7. Por el punto medio O de un segmento AB se traza una recta cualquiera XY ; se toma B' simétrico de B con respecto a XY y se traza B'N perpendicular a OB' con el punto N sobre XY . Probar que NB es tangente a la circunferencia de diámetro AB .
8. Por el punto de contacto A de dos circunferencias tangentes exteriores se traza una cuerda BAC. Demostrar que las tangentes en B y en C son paralelas.
9. Considerar una C(O; r) y una C(O'; r') tangentes en un punto A; se trazan en la C(O; r) una cuerda AM y en la C(O';r') la cuerda AN perpendicular a AM Probar que OM es paralelo a O´N
10. Dos circunferencias C(O; r) y C(O'; r') son secantes en A y B; por A se trazan los diámetros AC y AD . Demostrar que C, B y D están alineados.
11. Se traza una cuerda que corta a dos circunferencias concéntricas, a la menor en A y B y a la mayor en C y D. Demostrar que AC = BD y AD = BC.
12. En una C(O;r) se traza una cuerda y se toman los puntos medios M del arco mayor y N del arco menor . Se trazan las bisectrices de los ángulos MAB y MBA que se cortan en I y cortan a la circunferencia en D y F; se traza DF que corta a MN en H. Demostrar que:
a. El punto I está sobre la recta MN .
b. DH=HF.
13. En una C(O; r) se trazan dos radios OA y OB y una cuerda MN perpendicular a la bisectriz del ángulo AOB;MN corta a OA en F y a OB en G. Demostrar que MF = NG y FA = GB.
14. Se trazan dos circunferencias concéntricas. Demostrar que todas las cuerdas de la mayor que son tangentes a la menor son iguales.
15. Dos circunferencias C(O; r) y C(O'; r') se cortan en A; se une A con el punto medio M de OO´ y se traza la perpendicular a AM en A que corta a la C(O; r) en B y a la C(O'; r') en C. Demostrar que AB=AC.
16. En una C(O;r) se tienen un diámetro AB y una cuerda cualquiera CD ; De A se traza la cuerda AE perpendicular a la dirección de CD y de B se traza la cuerda BF perpendicular a CD ; AE y BF prolongados cortan a CD o a sus prolongaciones en G y H. Demostrar que: EG=BH y HC=DG.
17. Probar que la cuerda más pequeña que pasa por un punto interior a una circunferencia es perpendicular al diámetro que pasa por dicho punto.
18. Considerar un cuarto de circunferencia AOB. Desde los puntos A y B se trazan cuerdas iguales AM=BN; estas cuerdas se cortan en el punto C. Demostrar que OC es perpendicular a AB .
19. En una C(O; r) se trazan dos radios perpendiculares OA y OB y en el mismo sentido con respecto a los radios se trazan dos cuerdas iguales AM=BN. Demostrar que ellas son perpendiculares.
20. En una C(O; r) se traza una cuerda AB sobre la que se toma un punto D que se une con un punto cualquiera C de la circunferencia. Por los puntos medios de AD y CD se levantan perpendiculares que se cortan en M. Demostrar que OM es perpendicular a AC.
21. Probar que todo trapecio inscrito en una circunferencia es isósceles.
22. Dados dos puntos A y B sobre una C(O; r) se trazan dos cuerdas cualesquiera AM y AN ; después las cuerdas BM´perpendicular a AM y BN´ perpendicular a AN . Demostrar que MN´ es es paralela a M´N.
23. En una C(O;r) se tienen dos cuerdas CC´y DD´perpendiculares a un diámetro AB; se trazan CD y C´D´ . Probar que la recta que une los puntos medios de CD y C´D´ es perpendicular al diámetro AB .
24. Se hace pasar una circunferencia por los puntos medios de los tres lados de un triángulo rectángulo. Demostrar que el arco exterior a la hipotenusa es la diferencia de los arcos exteriores a los catetos.
25. En un Triángulo ABC acutángulo se trazan las alturas AD y BE . Probar que la circunferencia de diámetro AB pasa por los pies D y E de las alturas. Si el ángulo BAC=64°, calcular el ángulo ADE.
26. En una semicircunferencia de diámetro AB se traza una cuerda AC tal que el ángulo BAC=20° y se traza la tangente XDY perpendicular a AC Calcular los valores de los ángulos ADX y BDY.
27. Dos circunferencias son tangentes exteriores en un punto A. Se trazan las secantes BAC y B´AC´. Probar que BB´ es paralelo a CC´.
28. Construir un triángulo rectángulo si se conocen la hipotenusa y un cateto.
29. Hallar el lugar geométrico del centro de un rombo si uno de sus lados está fijo en alguna posición.
30. En un Triángulo ABC inscrito en una circunferencia se trazan las bisectrices de los ángulos A y B que se cortan en I y cortan a la circunferencia en D y F. Demostrar que DI=DB.
31. Sea I el centro de la circunferencia inscrita en un Triángulo ABC, rectángulo en A. Probar que BC es el lado del cuadrado que se puede inscribir en la circunferencia que pasa por los tres puntos B, I y C.
32. En un Triángulo ABC inscrito en una circunferencia se trazan las alturas AD y BF que se cortan en H; se prolonga AD hasta que corte a la circunferencia en M. Demostrar que HD=DM.
33. Por un extremo A de un diámetro AB de una C(O; r) se traza una cuerda AC ; y por el extremo B se traza la tangente a la circunferencia. Se traza la bisectriz del ángulo CAB que corta a la cuerda BC en F, a la circunferencia en H y a la tangente en D. Demostrar que BD=BF y FH=HD.
34. Sobre una circunferencia se toman consecutivos y en un mismo sentido de rotación los puntos A, B, C, D y E, tales que los arcos AB,BC ,CD y DE midan respectivamente 90°, 60°, 45° y 105°. Encontrar:
a. La medida del arco EA .
b. El valor de los ángulos ABC, BCD, CDE, DEA, EAB.
c. El valor de los ángulos que se forman en el punto H, intersección de las cuerdas EB y AD .
d. El valor de los ángulos que se forman en el punto I, intersección de las cuerdas ED y BC .
e. El valor de los ángulos que se forman en el punto B, al trazar la recta tangente FBT .
35. Encontrar los ángulos de un cuadrilátero inscriptible ABCD, si la diagonal AC hace con los lados AB y AD ángulos de 45° y con la diagonal BD un ángulo de 70°.
36. Construir un triángulo equilátero conociendo el radio del círculo:
a. Inscrito.
b. Circunscrito.
37. Se tiene un Cuadrilátero MNPR inscrito en una circunferencia, y el cuadrilátero circunscrito ABCD, cuyos lados AB ,BC , CD y DA , son tangentes a la circunferencia respectivamente en N, P, R y M.
a. Demostrar que AD+BC=DC+AB.
b. Si los arcos MN , MR miden 110° y 120° y el ángulo MIN=95°, siendo I el punto donde concurren las diagonales del Cuadrilátero MNPR, calcular los ángulos de los dos cuadriláteros.
1. En una C(O; r) se trazan un diámetro AB y un radio OC perpendicular a AB ; se prolonga AB a cada lado y en el exterior de la circunferencia en longitudes iguales AE=BD; se trazan CE y CD que cortan a la circunferencia en F y G. Probar que: ángulo OFC=ángulo OGC.
2. Un Triángulo ABC está inscrito en una C(O; r); sus alturas se cortan en H. Demostrar que la recta que une el punto medio N de AH con el punto medio P de AB es paralela a la recta que une O con el punto medio Q de AC . Demostrar que OPNQ es un paralelogramo.
3. Desde el vértice A de un Triángulo ABC equilátero, se traza el arco menor de la circunferencia que pasa por B y C; se toma sobre este arco el punto D y se trazan DB y DC . Demostrar que la recta que une el punto medio del radio AB con el punto medio de DC es perpendicular a la recta que une el punto medio AC con el punto medio de DB .
4. En una C(O;r) un diámetro AB y una cuerda AC forman un ángulo de 30°; se traza la tangente en el punto C que corta al diámetro prolongado en el punto D. Demostrar que el Triángulo ACD es isósceles.
5. En una semicircunferencia de radio dado R inscribir una circunferencia de radio dado r. ¿ Cuál condición deben cumplir los radios R y r para que exista una única solución?, ¿Para dos soluciones?.
6. En una C(O;r) se trazan por los extremos de un diámetro AB dos cuerdas paralelas AC y BD . Probar que ángulo ACO =ángulo BDO.
7. Por el punto medio O de un segmento AB se traza una recta cualquiera XY ; se toma B' simétrico de B con respecto a XY y se traza B'N perpendicular a OB' con el punto N sobre XY . Probar que NB es tangente a la circunferencia de diámetro AB .
8. Por el punto de contacto A de dos circunferencias tangentes exteriores se traza una cuerda BAC. Demostrar que las tangentes en B y en C son paralelas.
9. Considerar una C(O; r) y una C(O'; r') tangentes en un punto A; se trazan en la C(O; r) una cuerda AM y en la C(O';r') la cuerda AN perpendicular a AM Probar que OM es paralelo a O´N
10. Dos circunferencias C(O; r) y C(O'; r') son secantes en A y B; por A se trazan los diámetros AC y AD . Demostrar que C, B y D están alineados.
11. Se traza una cuerda que corta a dos circunferencias concéntricas, a la menor en A y B y a la mayor en C y D. Demostrar que AC = BD y AD = BC.
12. En una C(O;r) se traza una cuerda y se toman los puntos medios M del arco mayor y N del arco menor . Se trazan las bisectrices de los ángulos MAB y MBA que se cortan en I y cortan a la circunferencia en D y F; se traza DF que corta a MN en H. Demostrar que:
a. El punto I está sobre la recta MN .
b. DH=HF.
13. En una C(O; r) se trazan dos radios OA y OB y una cuerda MN perpendicular a la bisectriz del ángulo AOB;MN corta a OA en F y a OB en G. Demostrar que MF = NG y FA = GB.
14. Se trazan dos circunferencias concéntricas. Demostrar que todas las cuerdas de la mayor que son tangentes a la menor son iguales.
15. Dos circunferencias C(O; r) y C(O'; r') se cortan en A; se une A con el punto medio M de OO´ y se traza la perpendicular a AM en A que corta a la C(O; r) en B y a la C(O'; r') en C. Demostrar que AB=AC.
16. En una C(O;r) se tienen un diámetro AB y una cuerda cualquiera CD ; De A se traza la cuerda AE perpendicular a la dirección de CD y de B se traza la cuerda BF perpendicular a CD ; AE y BF prolongados cortan a CD o a sus prolongaciones en G y H. Demostrar que: EG=BH y HC=DG.
17. Probar que la cuerda más pequeña que pasa por un punto interior a una circunferencia es perpendicular al diámetro que pasa por dicho punto.
18. Considerar un cuarto de circunferencia AOB. Desde los puntos A y B se trazan cuerdas iguales AM=BN; estas cuerdas se cortan en el punto C. Demostrar que OC es perpendicular a AB .
19. En una C(O; r) se trazan dos radios perpendiculares OA y OB y en el mismo sentido con respecto a los radios se trazan dos cuerdas iguales AM=BN. Demostrar que ellas son perpendiculares.
20. En una C(O; r) se traza una cuerda AB sobre la que se toma un punto D que se une con un punto cualquiera C de la circunferencia. Por los puntos medios de AD y CD se levantan perpendiculares que se cortan en M. Demostrar que OM es perpendicular a AC.
21. Probar que todo trapecio inscrito en una circunferencia es isósceles.
22. Dados dos puntos A y B sobre una C(O; r) se trazan dos cuerdas cualesquiera AM y AN ; después las cuerdas BM´perpendicular a AM y BN´ perpendicular a AN . Demostrar que MN´ es es paralela a M´N.
23. En una C(O;r) se tienen dos cuerdas CC´y DD´perpendiculares a un diámetro AB; se trazan CD y C´D´ . Probar que la recta que une los puntos medios de CD y C´D´ es perpendicular al diámetro AB .
24. Se hace pasar una circunferencia por los puntos medios de los tres lados de un triángulo rectángulo. Demostrar que el arco exterior a la hipotenusa es la diferencia de los arcos exteriores a los catetos.
25. En un Triángulo ABC acutángulo se trazan las alturas AD y BE . Probar que la circunferencia de diámetro AB pasa por los pies D y E de las alturas. Si el ángulo BAC=64°, calcular el ángulo ADE.
26. En una semicircunferencia de diámetro AB se traza una cuerda AC tal que el ángulo BAC=20° y se traza la tangente XDY perpendicular a AC Calcular los valores de los ángulos ADX y BDY.
27. Dos circunferencias son tangentes exteriores en un punto A. Se trazan las secantes BAC y B´AC´. Probar que BB´ es paralelo a CC´.
28. Construir un triángulo rectángulo si se conocen la hipotenusa y un cateto.
29. Hallar el lugar geométrico del centro de un rombo si uno de sus lados está fijo en alguna posición.
30. En un Triángulo ABC inscrito en una circunferencia se trazan las bisectrices de los ángulos A y B que se cortan en I y cortan a la circunferencia en D y F. Demostrar que DI=DB.
31. Sea I el centro de la circunferencia inscrita en un Triángulo ABC, rectángulo en A. Probar que BC es el lado del cuadrado que se puede inscribir en la circunferencia que pasa por los tres puntos B, I y C.
32. En un Triángulo ABC inscrito en una circunferencia se trazan las alturas AD y BF que se cortan en H; se prolonga AD hasta que corte a la circunferencia en M. Demostrar que HD=DM.
33. Por un extremo A de un diámetro AB de una C(O; r) se traza una cuerda AC ; y por el extremo B se traza la tangente a la circunferencia. Se traza la bisectriz del ángulo CAB que corta a la cuerda BC en F, a la circunferencia en H y a la tangente en D. Demostrar que BD=BF y FH=HD.
34. Sobre una circunferencia se toman consecutivos y en un mismo sentido de rotación los puntos A, B, C, D y E, tales que los arcos AB,BC ,CD y DE midan respectivamente 90°, 60°, 45° y 105°. Encontrar:
a. La medida del arco EA .
b. El valor de los ángulos ABC, BCD, CDE, DEA, EAB.
c. El valor de los ángulos que se forman en el punto H, intersección de las cuerdas EB y AD .
d. El valor de los ángulos que se forman en el punto I, intersección de las cuerdas ED y BC .
e. El valor de los ángulos que se forman en el punto B, al trazar la recta tangente FBT .
35. Encontrar los ángulos de un cuadrilátero inscriptible ABCD, si la diagonal AC hace con los lados AB y AD ángulos de 45° y con la diagonal BD un ángulo de 70°.
36. Construir un triángulo equilátero conociendo el radio del círculo:
a. Inscrito.
b. Circunscrito.
37. Se tiene un Cuadrilátero MNPR inscrito en una circunferencia, y el cuadrilátero circunscrito ABCD, cuyos lados AB ,BC , CD y DA , son tangentes a la circunferencia respectivamente en N, P, R y M.
a. Demostrar que AD+BC=DC+AB.
b. Si los arcos MN , MR miden 110° y 120° y el ángulo MIN=95°, siendo I el punto donde concurren las diagonales del Cuadrilátero MNPR, calcular los ángulos de los dos cuadriláteros.
Matlab
Soluciòn de sistemas simultàneos de ecuaciones
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viernes, 7 de mayo de 2010
Derivadas de Funciones Exponenciales,logarítmicas y trigonométricas
Las siguientes son las expresiones para derivar funciones de ésta clase.
lunes, 19 de abril de 2010
Ejercicios sobre incrementos de una función
Encuentre el incremento relativo de las siguientes funciones:
Y=(X+2)(X-2)
Y=(X+1)(X+2)(X-3)
Y=X^2+3X-4
Y=2X^3-3X+7
Y=-3X^2-4X+1
Evaluar cada incremento relativo si la función pasa de 3.1 a 3.15
Y=(X+2)(X-2)
Y=(X+1)(X+2)(X-3)
Y=X^2+3X-4
Y=2X^3-3X+7
Y=-3X^2-4X+1
Evaluar cada incremento relativo si la función pasa de 3.1 a 3.15
miércoles, 24 de febrero de 2010
Saludo a mis estudiantes del grado 11 del Ciro Mendía
Hola Jóvenes:
Quiero participarles de este espacio, con el fin único de que socialicemos más y más conocimiento acerca de una matemática aplicada
Cordialmente
Guillermo M
Quiero participarles de este espacio, con el fin único de que socialicemos más y más conocimiento acerca de una matemática aplicada
Cordialmente
Guillermo M
miércoles, 14 de mayo de 2008
domingo, 11 de mayo de 2008
viernes, 25 de abril de 2008
GEOMETRÍA DEL ESPACIO
Entre todos los poliedros que existen hay unos especialmente importantes por sus propiedades, belleza y presencia en la vida real: los poliedros regulares. Se les conoce con el nombre de sólidos platónicos en honor a Platón (siglo IV a. de C.) que los cita en el Timeo, pero lo cierto es que no se sabe en qué época llegaron a conocerse. Algunos investigadores asignan el cubo, tetraedro y dodecaedro a Pitágoras y el octaedro e icosaedro a Teeteto (415-369 a. de C.). Para Platón los elementos últimos de la materia son los poliedros regulares, asignando el fuego al tetraedro (el fuego tiene la forma del tetraedro, pues el fuego es el elemento más pequeño, ligero, móvil y agudo), la tierra al cubo (el poliedro más sólido de los cinco), el aire al octaedro (para los griegos el aire, de tamaño, peso y fluidez, en cierto modo, intermedios, se compone de octaedros) y el agua al icosaedro (El agua, el más móvil y fluido de los elementos, debe tener como forma propia o “semilla”, el icosaedro, el sólido más cercano a la esfera y, por tanto, el que con mayor facilidad puede rodar), mientras que el dodecaedro al universo (Como los griegos ya tenían asignados los cuatro elementos, dejaba sin pareja al dodecaedro. De forma un tanto forzada lo relacionaron con el Universo como conjunción de los otros cuatro: La forma del dodecaedro es la que los dioses emplean para disponer las constelaciones en los cielos. Dios lo utilizó para todo cuando dibujó el orden final).
A finales del siglo XVI, Kepler imaginó una relación entre los cinco poliedros regulares y las órbitas de los planetas del sistema solar entonces conocidos (Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno). Según él cada planeta se movía en una esfera separada de la contigua por un sólido platónico.
A finales del siglo XVI, Kepler imaginó una relación entre los cinco poliedros regulares y las órbitas de los planetas del sistema solar entonces conocidos (Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno). Según él cada planeta se movía en una esfera separada de la contigua por un sólido platónico.
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