Acá se relacionan algunos ejercicios propuestos acerca de la circunferencia,elaborados por el Profesor Carlos Vargas del Politécnico Jaime Isaza Cadavid, revisados y complementados por el Profesor Guillermo L. Moncada T.
1. En una C(O; r) se trazan un diámetro AB y un radio OC perpendicular a AB ; se prolonga AB a cada lado y en el exterior de la circunferencia en longitudes iguales AE=BD; se trazan CE y CD que cortan a la circunferencia en F y G. Probar que: ángulo OFC=ángulo OGC.
2. Un Triángulo ABC está inscrito en una C(O; r); sus alturas se cortan en H. Demostrar que la recta que une el punto medio N de AH con el punto medio P de AB es paralela a la recta que une O con el punto medio Q de AC . Demostrar que OPNQ es un paralelogramo.
3. Desde el vértice A de un Triángulo ABC equilátero, se traza el arco menor de la circunferencia que pasa por B y C; se toma sobre este arco el punto D y se trazan DB y DC . Demostrar que la recta que une el punto medio del radio AB con el punto medio de DC es perpendicular a la recta que une el punto medio AC con el punto medio de DB .
4. En una C(O;r) un diámetro AB y una cuerda AC forman un ángulo de 30°; se traza la tangente en el punto C que corta al diámetro prolongado en el punto D. Demostrar que el Triángulo ACD es isósceles.
5. En una semicircunferencia de radio dado R inscribir una circunferencia de radio dado r. ¿ Cuál condición deben cumplir los radios R y r para que exista una única solución?, ¿Para dos soluciones?.
6. En una C(O;r) se trazan por los extremos de un diámetro AB dos cuerdas paralelas AC y BD . Probar que ángulo ACO =ángulo BDO.
7. Por el punto medio O de un segmento AB se traza una recta cualquiera XY ; se toma B' simétrico de B con respecto a XY y se traza B'N perpendicular a OB' con el punto N sobre XY . Probar que NB es tangente a la circunferencia de diámetro AB .
8. Por el punto de contacto A de dos circunferencias tangentes exteriores se traza una cuerda BAC. Demostrar que las tangentes en B y en C son paralelas.
9. Considerar una C(O; r) y una C(O'; r') tangentes en un punto A; se trazan en la C(O; r) una cuerda AM y en la C(O';r') la cuerda AN perpendicular a AM Probar que OM es paralelo a O´N
10. Dos circunferencias C(O; r) y C(O'; r') son secantes en A y B; por A se trazan los diámetros AC y AD . Demostrar que C, B y D están alineados.
11. Se traza una cuerda que corta a dos circunferencias concéntricas, a la menor en A y B y a la mayor en C y D. Demostrar que AC = BD y AD = BC.
12. En una C(O;r) se traza una cuerda y se toman los puntos medios M del arco mayor y N del arco menor . Se trazan las bisectrices de los ángulos MAB y MBA que se cortan en I y cortan a la circunferencia en D y F; se traza DF que corta a MN en H. Demostrar que:
a. El punto I está sobre la recta MN .
b. DH=HF.
13. En una C(O; r) se trazan dos radios OA y OB y una cuerda MN perpendicular a la bisectriz del ángulo AOB;MN corta a OA en F y a OB en G. Demostrar que MF = NG y FA = GB.
14. Se trazan dos circunferencias concéntricas. Demostrar que todas las cuerdas de la mayor que son tangentes a la menor son iguales.
15. Dos circunferencias C(O; r) y C(O'; r') se cortan en A; se une A con el punto medio M de OO´ y se traza la perpendicular a AM en A que corta a la C(O; r) en B y a la C(O'; r') en C. Demostrar que AB=AC.
16. En una C(O;r) se tienen un diámetro AB y una cuerda cualquiera CD ; De A se traza la cuerda AE perpendicular a la dirección de CD y de B se traza la cuerda BF perpendicular a CD ; AE y BF prolongados cortan a CD o a sus prolongaciones en G y H. Demostrar que: EG=BH y HC=DG.
17. Probar que la cuerda más pequeña que pasa por un punto interior a una circunferencia es perpendicular al diámetro que pasa por dicho punto.
18. Considerar un cuarto de circunferencia AOB. Desde los puntos A y B se trazan cuerdas iguales AM=BN; estas cuerdas se cortan en el punto C. Demostrar que OC es perpendicular a AB .
19. En una C(O; r) se trazan dos radios perpendiculares OA y OB y en el mismo sentido con respecto a los radios se trazan dos cuerdas iguales AM=BN. Demostrar que ellas son perpendiculares.
20. En una C(O; r) se traza una cuerda AB sobre la que se toma un punto D que se une con un punto cualquiera C de la circunferencia. Por los puntos medios de AD y CD se levantan perpendiculares que se cortan en M. Demostrar que OM es perpendicular a AC.
21. Probar que todo trapecio inscrito en una circunferencia es isósceles.
22. Dados dos puntos A y B sobre una C(O; r) se trazan dos cuerdas cualesquiera AM y AN ; después las cuerdas BM´perpendicular a AM y BN´ perpendicular a AN . Demostrar que MN´ es es paralela a M´N.
23. En una C(O;r) se tienen dos cuerdas CC´y DD´perpendiculares a un diámetro AB; se trazan CD y C´D´ . Probar que la recta que une los puntos medios de CD y C´D´ es perpendicular al diámetro AB .
24. Se hace pasar una circunferencia por los puntos medios de los tres lados de un triángulo rectángulo. Demostrar que el arco exterior a la hipotenusa es la diferencia de los arcos exteriores a los catetos.
25. En un Triángulo ABC acutángulo se trazan las alturas AD y BE . Probar que la circunferencia de diámetro AB pasa por los pies D y E de las alturas. Si el ángulo BAC=64°, calcular el ángulo ADE.
26. En una semicircunferencia de diámetro AB se traza una cuerda AC tal que el ángulo BAC=20° y se traza la tangente XDY perpendicular a AC Calcular los valores de los ángulos ADX y BDY.
27. Dos circunferencias son tangentes exteriores en un punto A. Se trazan las secantes BAC y B´AC´. Probar que BB´ es paralelo a CC´.
28. Construir un triángulo rectángulo si se conocen la hipotenusa y un cateto.
29. Hallar el lugar geométrico del centro de un rombo si uno de sus lados está fijo en alguna posición.
30. En un Triángulo ABC inscrito en una circunferencia se trazan las bisectrices de los ángulos A y B que se cortan en I y cortan a la circunferencia en D y F. Demostrar que DI=DB.
31. Sea I el centro de la circunferencia inscrita en un Triángulo ABC, rectángulo en A. Probar que BC es el lado del cuadrado que se puede inscribir en la circunferencia que pasa por los tres puntos B, I y C.
32. En un Triángulo ABC inscrito en una circunferencia se trazan las alturas AD y BF que se cortan en H; se prolonga AD hasta que corte a la circunferencia en M. Demostrar que HD=DM.
33. Por un extremo A de un diámetro AB de una C(O; r) se traza una cuerda AC ; y por el extremo B se traza la tangente a la circunferencia. Se traza la bisectriz del ángulo CAB que corta a la cuerda BC en F, a la circunferencia en H y a la tangente en D. Demostrar que BD=BF y FH=HD.
34. Sobre una circunferencia se toman consecutivos y en un mismo sentido de rotación los puntos A, B, C, D y E, tales que los arcos AB,BC ,CD y DE midan respectivamente 90°, 60°, 45° y 105°. Encontrar:
a. La medida del arco EA .
b. El valor de los ángulos ABC, BCD, CDE, DEA, EAB.
c. El valor de los ángulos que se forman en el punto H, intersección de las cuerdas EB y AD .
d. El valor de los ángulos que se forman en el punto I, intersección de las cuerdas ED y BC .
e. El valor de los ángulos que se forman en el punto B, al trazar la recta tangente FBT .
35. Encontrar los ángulos de un cuadrilátero inscriptible ABCD, si la diagonal AC hace con los lados AB y AD ángulos de 45° y con la diagonal BD un ángulo de 70°.
36. Construir un triángulo equilátero conociendo el radio del círculo:
a. Inscrito.
b. Circunscrito.
37. Se tiene un Cuadrilátero MNPR inscrito en una circunferencia, y el cuadrilátero circunscrito ABCD, cuyos lados AB ,BC , CD y DA , son tangentes a la circunferencia respectivamente en N, P, R y M.
a. Demostrar que AD+BC=DC+AB.
b. Si los arcos MN , MR miden 110° y 120° y el ángulo MIN=95°, siendo I el punto donde concurren las diagonales del Cuadrilátero MNPR, calcular los ángulos de los dos cuadriláteros.
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73 comentarios:
Cada estudiante debe resolver los dos ejercicios asignados previamente en clase y anexarlos como un comentario al blog.
El formato C(O,r) debe entenderse como una circunferencia con centro en O y radio r.
Cordial saludo Guillermo:
Estube revisando los ejercicios 26 y 34 y encontré las siguientes inquietudes:
a) el enunciado del ejercicio 26 aparece incompleto.
b) en el ejercicio 34, mi inquietud es a cerca del numeral b)si está incompleto o es así la pregunta.
Estoy atenta a su respuesta
Carolina Gallon
Hola Carolina
Ya se han hecho las correcciones respectivas. Me cuentas si algo nuevo identificas
cordial saludo---
profe tengo la duda de como se sube la respueta y la grafica... no se...
diego maurcio henao---
Hola Diego
Debe registrarse en el mismo blog. Puede emplear un formato en word y escanear la grafica. Existen más caminos
Profe,
En este mismo recuadro de comentario he intentado pegar la imagen ya escaneada de la solucion y no me dejó.
Que otro camino hay?
Carolina Gallon
hola profe
tengo una duda sobre el enunciado del punto 15.. no se si esta mal escrito o es asi.. he intentado de varias formasy no me da...
gracias..
SOLUCION EJERCICIO 26:
Dada la semicircunferencia con diámetro AB y centro O, se traza una cuerda desde el punto A hasta C, formando un ángulo BAC igual a 20. Se traza una tangente con punto de corte a la semicircunferencia en D y perpendicular a AC.
Se crea la línea ZP alargando AC por cada uno de sus extremos. Se crea el segmento OD formando el ángulo inscrito ODB en una semicircunferencia (es decir, su valor es de 90); se alarga dicho segmento para formar la línea QR.
Los ángulos ZCY y QDY son iguales a 90 y por ende, las líneas ZP y QR son paralelas.
Los segmentos AO y OD son iguales porque son radios de la semicircunferencia.
El triangulo AOD es isósceles, por lo tanto el ángulo teta e igual a teta-prima
El ángulo alfa es igual al ángulo teta-prima por ser alternos internos.
La suma de los ángulos alfa y teta es igual a 20. Por ser iguales los ángulos teta, teta-prima y alfa, se puede decir, que 20 es igual a dos veces el ángulo teta-prima, por lo tanto, el ángulo teta-prima es igual a 10 y de igual manera el ángulo teta y ángulo alfa.
La suma de los ángulo internos del triángulo ACD es igual a 180, por lo tanto, ángulo alfa más ángulo 1 más ángulo c es igual a 180. Despejando el ángulo 1, resulta ser de valor 80.
El ángulo BDA es un ángulo inscrito en una semicircunferencia, por lo tanto es de valor de 90.
El ángulo 2 más ángulo BDA más ángulo 1 es igual a 180 por estar sobre la línea tangente XDY. Despejando el ángulo 2, da valor de 10.
Sln.: ángulo ADY es igual a 80 y el ángulo BDY es igual a 10.
SOLUCION EJERCICIO 34:
Dado un círculo, con puntos ABCDE trazados sobre la circunferencia en sentido de las manecillas del reloj y cuyos arcos AB, BC, CD, DE valen 90, 60, 45, 105 respectivamente y una tangente FT con punto de tangencia en la circunferencia en B.
Se trazan las cuerdas AB, BC (alargado hasta I), CD, DE (alargando ED hasta I), EA, EB y AD.
Despejando de la sumatoria de todos los arcos. El arco EA vale 60, ya que toda la circunferencia vale 360.
Los ángulos ABC, BCD, CDE, DEA, EAB son inscritos, por lo tanto su medida es igual a la mitad del arco que lo abarca, es decir, arcos AEC, BAD, CBE, DBA, EDB respectivamente. Por consiguiente los valores son 105, 127.5, 105, 97.5 y 105 respectivamente.
Los ángulos 1,2,3,4 corresponden a los ángulos formados en el punto de encuentro H por las cuerdas EB y AC. Siendo ángulos interiores el 1 y 2, por consiguiente el valor de cada uno de estos es la semisuma de los ángulos que abarca a lado y lado, siendo así sus valores de 97.5 y 82.5 respectivamente. Los ángulos 3 y 4 son opuestos por el vértice al 1 y 2, por consiguiente, el ángulo 3 es igual al 1 y el ángulo 4 es igual al 2.
Los ángulos 4,5,6,7,8 corresponden a los ángulos formados en el punto de encuentro I. El ángulo 5 es exterior, por lo tanto su valor es la semiresta del ángulo mayor u ángulo menor. Así su valor es de 52.5. El ángulo 7 es igual al 5 por ser opuestos por el vértice. La suma de los ángulos 5 y 6 es igual a 180 por estar sobre una recta, por lo tanto, el ángulo 6 es igual a 27.5. y el ángulo 8 es igual al 6 por estar opuestos por el vértice.
El ángulo 9 es formado por CBT y el ángulo 11 es ABF, ambos son seminscritos. El ángulo 10 es ABC y es inscrito. Los valores de los tres ángulos corresponden a la mitad del arco que cada uno abarca, es decir, los arcos BC, BA y ABC respectivamente. Por lo tanto los valores de los ángulos 9, 10 y 11 son 30, 105 y 45 respectivamente.
Ejercicio 21.
En el ejercicio 21 se hace una circunferencia la cual tiene un trapecio inscrito el cual tiene como puntos ABDC. Se dice por definición de trapecio que los segmentos AB y CD son paralelas. También se nota que los puntos DB y CA forman arcos de la circunferencia pero, igualmente son cuerdas de la misma.
Hay un teorema que nos dice, dos cuerdas paralelas en una circunferencia definen arcos iguales en este caso las cuerdas paralelas se forman en los puntos CD y AB y los arcos que se denotan entre las paralelas son DB y CA, los cuales son iguales. Si DB y CA iguales entonces las cuerdas CA y DB son iguales. Esto quiere decir que las dos cuerdas no paralelas son iguales, Y los ángulos formados en estas cuerdas son iguales esto nos muestra que el trapecio es isóceles.
Ejercicio 9.
En el ejercicio 9 se hacen dos circunferencias tangentes en un punto A y se consideran en una de ellas o,r centro y radio y en la otra o´,r´, en la primera circunferencia se traza una cuerda AM y en la segunda una cuerda AN, también se forman dos líneas, una se denomina OM y la otra O´N y se denotan en cada una de las circunferencias.
De estas líneas se forman dos triángulos uno a cada lado de la circunferencia. En el primer se forman los ángulos alfa , alfa y x. en el otro beta , beta y x´.
También en primer triangulo se forma un ángulo externo llamado 2 alfa, y por el otro lado 2 beta.
En la primera circunferencia los dos radios, AO Y OM son los lados iguales del triangulo MOA, esto nos indica que los ángulos de la base son iguales por isoceles , alfa = alfa.
En la segunda circunferencia los dos radios, AO´ Y ON son los lados iguales del triangulo NO´A, esto nos indica que los ángulos de la base son iguales por isoceles , BETA = BETA.
En el punto de tangencia se forma un ángulo de 90 llamado teta, por hipótesis, y hay mismo teta+alfa+beta =180 de esto decimos que alfa + beta = 90. Ecuación 1
El ángulo externo es igual a la suma de alfa +alfa esto nos da como resultado 2 alfa.
La ecuación 1 la multiplicamos por 2 y nos da como resultado 2alfa +2beta=180.
El ángulo x+2alfa (ángulo externo) =180. Ecuación 3-
De la ecuación 2 y 3 se obtiene:
2BETA=x
Análogamente en el otro triangulo:
2alfa=x´
Por lo tanto , esto cumple que los ángulos alternos internos son iguales por lo tanto OM Y O´N son paralelos.
solucion ejercicio 31
ENUNCIADO
Sea i el centro de la circunferencia inscrita en un tirangulo ABC rectangulo en A. Probar que BC es el lado del cuadrado que se puede inscribir en la circunferencia que psa por los tres puntos B, I, C.
SOLUCION
Sea BC lado del cuadrado que esta inscrito en la circunferencia C(O;r')y que es la hipotenusa del triangulo ABC recto en A.
Sea r= radio en la C(I;r)que esta inscrita en el triangula ABC recto en A.
C(O;r') que pasa por lso puntos BIC, es secante a la C(i;r) inscrita en el triangulo ABC recto en A y cuya cuerda comun FG, hace que la linea que une los centros de las C(I;r) y C(O;r')sea la mediatriz y la bicectriz de los angulos centrales subtendidos por la cuerda( teorema).
IO son puntos colineales por criterio mensionado y FG cuerda en comun.
1.Oi=r en C(O;r') y IM=r en C(I;r)
2.AB tangente a C(O;r') POR hipotesis ( circunferencia que pasa por los tres puntos BIC)
3.AC tangente a C(O;r') POR hipotesis (circunferencia que pasa por los tres puntos)
4.OB perpendicular B POR--- por que el r cae perpendicular al punto de tangencia.
5.OB perpendicularBA POR--(4), . punto A y punto B sobre la misma recta ( hipotesis)
6.OC perpendicular C por que el radio cae perpendicular al punto de tangencia.
7.OC perpendicular CA POR (6) punto C y punto A sobre la misma recta --( hipotesis)
8.BA perpendicular CA POR---- hipotesis, triangulo ABC recto en A
9.CA paralelo OB POR (5),(7),(8)
10. BA paralelo OC (5),(7),(8)
11.OBAC rectangulo POR (5),(7),(8),(9),(10)
12.Angulo BOC recto POR (11)
Cuando prolongo BO hasta E y formo diametro BE, y prolongo CO asta D y formo diametro CD. Ya tengo lso 4 puntos que me forman el cuadrado DBCE pedido donde BC es el lado pedido...... Ab inscrito en la circunferencia que pasa por los tres puntos BIC.
Solución ejercicio 13
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En una C(O; r) se trazan dos radios OA y OB y una cuerda MN perpendicular a la bisectriz del ángulo AOB;MN corta a OA en F y a OB en G. Demostrar que MF = NG y FA = GB.
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La bisectriz corta a la cuerda MN en X, los ángulos OXN y OXM son de 90 grados, por ser perpendicular conla bisectriz.
La bisectriz corta el ángulo AOB en 2 ángulos iguales y a su vez el lado común. Se forman 2 triangulos OXF y OXG, los cuales son congruentes por Angulo - Lado - Angulo.
Por el teorema de radio perpendicular a una cuerda, la divide en 2 partes iguales y define 2 arcos iguales, sepuede concluir que los triangulos GNB y FMA tambien son congruentes, por Lado - Angulo - Lado.
Solución ejercicio 27
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Dos circunferencias son tangentes exteriores en un punto A. Se trazan las secantes BAC y B´AC´. Probar que BB´ es paralelo a CC´.
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Se traza una linea XX´ tangencial a los 2 circulos y que pasa por A.
Los ángulos XAB y X´AC son iguales por opuestos por el vértice.
Los ángulos ABB´ y ACC´ son iguales por alternos internos.
Los arcos AC y AB son iguales ya que están inscritos en arcos congruentes.
Podemos concluir que BB´ es paralelo a CC´ por ángulos alterns internos en la recta CB.
Jorge Hernan Mora Giraldo. CC 71792174
SOLUCION EJERCICIO #8
Trazamos la cuerda BAC que pasa por los puntos de tangencia en B en C y por el punto de contacto en A.
luego trazamos l tangente en B y l prima tangente en C.
La cuerda BAC al pasar por los puntos de tangencia nos forma diametros en cada circunferencia BOA y AOC.
Decimos entonces que el angulo alfa en B es igual a el arco BA sobre 2, y al ser BOA diametro,el arco BA es igual a 180 grados entonces alfa igual a 180/2= 90 grados.
AOC diametro,el arco CA igual a 180, entonces el angulo beta en C es igual a 180/2=90 grados
alfa=beta=90 grados
por lo tanto BAC perpendicular a l y l paralelo a l prima por alfa y beta alternos internos entre paralelas(lqqd).
SOLUCION EJERCICIO #37
A)
se trazan las diagonales del cuadrilatero ABCD siendo O el punto donde estas concurren y NPRM puntos de tangencia.
Unimos ON=OP=OR=OM=R(radios).
- alfa 1 en N = alfa 2 en M = 90 grados(A.por ser radios a puntos de tangencia). Luego ON=R=OM y AO=AO (lado común), entonces AN=AM=X(B.en 2 triangulos hay un par de catetos y las hipotenusas respectivamente iguales, el otro par de catetos tambien son iguales.
- alfa 1 en N = alfa 4 en P = 90 grados(A).Luego ON=R=OP y OB=OB(lado común), entonces BP=BN=Y.(B)
- alfa 2 en M = alfa 3 en R =90 grados(A). Luego OM=R=OR Y OD=OD(lado común), entonces DR=DM=Z.(B)
- alfa 3 en R = alfa 4 en P = 90 grados(A). Luego OP=R=OR Y OC=OC(lado común), entoncesCR=CP=W
DECIMOS LUEGO:
X+Z+Y+W=Z+W+X+Y
AM+MD+BP+PC=DR+RC+AN+NB(suma de segmentos)
AD+BC=DC+AB(lqqd)
ejercicio 23:
trazamos la recta EF que une los puntos medios de CD y C"D".
el segmento C"D" Y DC se toma como un trapecio con D"D como base menor C"C como base mayor y EF recta que pasa por el trapesio como punto medio E como punto medio de D"C" Y F como punto medio de DC.
CC" Y DD" perpendiculares al diametro AB__ por hipotesis.
EF paralela a la base__ por paralela media.
CC" y DD" perpendiculares al diametro y EF paralela de D"D Y C"C por lo tanto EF es perpendicular al diametro AB.
profe hola
profe el ejercico escaneado no pega en el espacio en blanco
entonces voy a trtar de hacerme entender en la demostracion sin grafica
SOLUCIÓN EJERCICIO # 3
Desde el vértice A de un Triángulo ABC equilátero, se traza el arco menor de la circunferencia que pasa por B y C; se toma sobre este arco el punto D y se trazan DB y DC .
Demostrar que la recta que une el punto medio del radio AB con el punto medio de DC es perpendicular a la recta que une el punto medio AC con el punto medio de DB .
Hipótesis
El triangulo ABC es equilátero.
El segmento AB =BC=AC.
A=centro de la circunferencia que pasa por BC.
D=Punto medio de el arco BC.
Tesis.
EH perpendicular con FG.
El ángulo formado en EOF es igual a 90°.
Demostración.
1.El triangulo ABC es equilátero por que AB=AC=BC
Por definición de de triangulo equilátero.
2.A= centro de circunferencia por que pasa por B y C.
Por construcción y definición de circunferencia.
3.El arco BC es el arco menor de la circunferencia.
Definición de los arcos de una circunferencia.
4.D = punto medio del arco BC.
Definición del punto medio.
5.E=AB/2; F=AC/2; D= AL ARCO BC /2
Definición de punto medio.
6.G= BD/2; H= AL ARCO DC /2.
Definición de punto medio.
7.AD es perpendicular sobre BC.
Definición de recta perpendicular.
8.El triangulo ABD es igual y congruente con el triangulo ADC.
Congruencia de triángulos.
9.El ángulo formado en EOG es igual y congruente al ángulo FOH.
Definición de ángulos congruentes.
10.El ángulo GOH es igual y congruente con el ángulo EOF.
Congruencia de ángulos.
11.O es punto medio de EH y FG.
Definición de punto medio.
12.EH perpendicular con FG
POR 11 y definición de perpendicular.
13.LA m del ángulo EOG= m del ángulo FOH = m del ángulo EOF que equivale a 90.
Por 10.11.12 y definición de rectas perpendiculares.(lqqd)
SOLUCIÓN EJERCICIO # 31.
31. Sea I el centro de la circunferencia inscrita en un Triángulo ABC, rectángulo en A. Probar que BC es el lado del cuadrado que se puede inscribir en la circunferencia que pasa por los tres puntos B, I y C.
HIPÓTESIS
El triangulo ABC es rectángulo.
El Angulo A es recto.
La Medida del ángulo A es =90°.
TESIS.
BC= LADO DEL CUADRADO BCDE.
B,C,I punto de la circunferencia.
DEMOSTRACIÓN
1.El triangulo ABC es rectángulo en el ángulo A.
Por construcción y definición de cuadrado.
2.I centro de la circunferencia.
Por construcción.
3.AB Y AC catetos del triangulo ABC
BC hipotenusa del triangulo ABC.
Definición del triangulo.
4.AX Bisectriz del ángulo BAC
Por definición de bisectriz.
5.Con centro en X y AX trazamos un arco en el punto O. por Construcción de arco.
6.Con centro en O y radio=OI trazamos una circunferencia que contiene los puntos B,I,C. Definición y construcción de circunferencia.
7.Concentro en O y distancia OA trazamos un arco en la circunferencia mayor desde B y C y obtenemos D y E. Construcción de puntos en una circunferencia.
8.Desde B y c Trazamos dos paralelas a los arcos , en D y E.
Definición de lineas paralelas.
9.BD es paralela con CE.
Por 8.
10.Trazamos DE.
Construcción de segmento.
11.DE es paralela Con BC por tanto DE=BC; BD = CE. Por definición de rectas paralelas e igualdad de segmentos.
12.BCDE es Cuadrado.
Construcción y definición de cuadrilátero.
13.BC lado de cuadrados BCDE inscrito en la circunferencia que contiene los puntos B,I,C,E.
Por 11 y 12,(lqqd).
solucion ejercico 10
los angulos o y o´al se cortados por la linea que une los dos centros de las circunferencias (o,r) y (o´,r´)
ambos angulos se parten en algulos iguales, por teorema de circunferencias secantes luego OA, sera iguala OB por ser radios de una circunferncia, igualmente O´A igual a O´B, por medios de estos elementos podemos deducir que los triangulos que se forman entre los dos angulos centrales y la linea que une a O con O´ es decir triangulo OAO´ y triangulo OBO´ , son congruentes por (lado,angulo,lado), por elementos correspondientes de triangulos congruentes y el teorema de circunferencias secantes(la linea de sus centros (O,O´)es la mediatriz de su cuerda comun(AB)) por medio de estos elementos podemos concluir que el cuadrilatero que se forma entre los angulos centrales (OAO´B) es un rombo,de donde (O mas B igual a 180)de donde B, igual a 90, esto por suma de angulos igules de ahi el angulo C mas el angulo D igual a 90, entonce el angulo C mas el angulo B mas el angulo D, igula a 180, de donde C,B y D, estan alineados
Solución ejercicio 5
a)Para que exista una única solución el radio menor (r)de la circunferencia inscrita debe ser la mitad del radio (R) de la semicircuferencia, esto satisface la ecuación r= 1/n*(1/2)R, siendo n el número posible de soluciones.
b) Para que exitan dos soluciones el radio r debe ser 1/4 del radio (R)de la semicurcunferencia, satisface la ecuación r= 1/n*(1/2).
solucion del ejercico 20
en la circunferencia (o,r) trazo los radios OA y OC de ahi OA igual a OC, por ser radios de una circunferencia entonces el triangulo AOC es isoceles de bese AC, en efecto el angulo A es igual a el anguo C, Y OM sera un lado comun para los triangulos AOC y COM, con estos elementos podemos concluir que los dos triangulos anteriores son congruentes por (lado,lado,angulo), de donde MO sera vicectriz del angulo O entonces OM perpendicular a AC, ya que en todo triangulo isoceles la vicectriz del angulo desigual es a se ves altura mediana y mediatriz
ejercicio 13
en una circunferencia c(0,r) se trazan dos radios OA y OB una cuerda MN perpendicular a la bisectriz del angulo AOB; MN corta a OA en F y a OB en G demostrar que MF = NG y FA =GB
Hipótesis:
OA y OB son radios de la circunferencia.
MN es cuerda.
OH es bisectriz del angulo AOB.
MF es perpendicular a AO; NG es perpendicular a OB.
Tesis:
MF = NG
FA = GB
Demostración:
1. OA y OB son los radios de la circunferencia y m OA = m OB; Por construcción y medida de segmentos
2. OH es perpendicular a AB; definición de rectas perpendiculares.
3. OH es bisectriz de angulo AOB; por definición de bisectriz.
4. MN es perpendicular a OH; justificación en 2 y 3
5. MH = MN; Congruencia de segmentos
6. MF es perpendicular a AO y NG es perpendicular a OB; Por hipótesis y definición de rectas perpendiculares.
7. F es igual a AO medios , G es igual a OB medios; Por definición de puntos medios de un segmento.
8. FO es igual a OG; Por congruencia de segmentos.
9. FA es igual a GB; Por igualdad de segmentos.
10. MF es igual a NG; Por definición de de cuadriláteros e igualdad de segmentos.
11. MF es igual a NG; Justificación en 10 e igualdad de segmentos. Lqqd.
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Ejercicio 33.
Por un extremo A de un diámetro AB de una circunferencia (o,r) se traza una cuerda AC y por el extremo B se traza la tangente a la circunferencia. se traza la bisectriz del angulo CAB que corta a la cuerda BC en F, a la circunferencia en H y a la tangente en D. demostrar que BD = BF y FH = HD.
Hipótesis:
AB es diámetro.
O es el centro de la circunferencia.
OA = OB
AF es bisectriz del angulo CAB.
H es el punto de corte de la circunferencia.
D es el punto de corte de la recta tangente a la circunferencia.
Tesis:
BD = BF
FH = HD
Demostración
1. AB es diámetro de la circunferencia; Por construcción y definición de la circunferencia.
2. OA es iguala OB, radios de la circunferencia y OA + OB, diametros de la circunferencia; Por construcción y definición de radio y diametro de una circunferencia.
3. GI es la recta tangente a la circunferencia; Por definiciónde recta tangente a la circunferencia.
4. AC es la cuerda en la circunferencia; Por definición de cuerda.
5. AF es bisectriz del anglo CAB; Por definición de bisectriz.
6. F es el punto medio de CB; Por definición de bisectriz y punto medio de un segmento.
7. BH es perpendicular a FD; Por perpendicularidad.
8. El triangulo FBD es equilatero y FB = BD = FD; Por definición de triángulos y congruencia de segmentos.
9. H es punto medio de FD; Por definición de punto medio de un segmento.
10. BD = BF; Por congruencia de segmentos y definición de triángulos equilateros. Lqqd
11. FH = HD; Por congruencia de segmentos y Definición de Puntos medios de segmentos. Lqqd
Profe como hago para subir la imagen no se
Profe vea entonces yo intento explicarselos x aca
Ejercicio 11:
Se traza una línea perpendicular al segmento AB que pase por P (P es el centro), entonces AP y PB son congruentes por el teorema que dice que al trazar dicha perpendicular desde el centro, divide el arco en 2 partes iguales y la cuerda también.
. AC + AP = PB + BD --> Por la construcción auxiliar de la perpendicular
. AC + AP - PB = BD --> Transposición de Términos
. AC = BD --> Porque AP - PB = 0
AD + AC = CD y BC + BD = CD
AD + AC = BC + BD
AD + AC - BD = BC
AD = BC
John Esneyder Araque Rueda
Profe vea el otro:
17:
Lo podemos demostrar por la propiedad de una tangente en la circunferencia, que dice que en el punto de tangencia, el radio forma ángulos de 90°.
AB perpendicular con CD
Un teorema nos dice que todo diámetro perpendicular a una cuerda, la divide en dos partes iguales, y por lo tanto define 2 arcos iguales:
AB es la cuerda
CD es el diámetro
P es donde se encuentran el diametro con la cuerda
AB perpendicular con CD --> AP = PB (P es el centro)
arco AD = arco DB
John Esneyder Araque Rueda Grupo 67
Solución ejercicio 36
a) Para el triángulo Equilátero inscrito:
1.Se construye la circunferencia C(O;r), se divide el ángulo completo 360º en tres parte iguales y obtenemos arcos de 120º cada uno.
2. Construimos el triángulo ABC uniendo los tres arcos.
3. Trazamos los radios OA, OB y OC, obtenemos ángulos centrales de 120º cada uno.
4. Trazamos los triángulos AOB, BOC y AOC, isosceles respectivamente por la congruencia de los radios.
5. Definimos el valor de los 2 águlos restantes para estos triágulos isosceles, como conocemos el águlo central (120º) determinamos que los ángulos de las bases miden respectivamente 30º y asi se cumple que la suma de los 3 ángulos de cada triágulo debe ser 180º.
6. Finalmente sumamos todos los ángulos que corresponden a cada vertice, obteniendo 60º para cada uno A,B y C. Esta condición es fundamental para todo triágulo Equilatero.
b)Para el triángulo Equilátero circunscrito:
Sea c la circunferencia dada, de centro O, y sea P un punto de c.
Con centro en P, se traza circunferencia c' de radio PO.
Se trazan dos semirrectas desde O por M, N (intersecciones de c y c')
La intersección de la recta perpendicular a PO en P con las semirrectas, determina los vértices A, B del triángulo equilátero. AB es el lado del triangulo.
Para determinar el tercer vértice, C, se traza circunferencias de radio AB desde A y B.
Profe hola:
a mi me tocaron los ejercicios 25 y 35, yo no pude asistir al examen el martes, usted me asigno los ejercicios el jueves.
las figuras se las envio al correo porque la verdad no se como se adjuntan por aca.
25. En un Triángulo ABC acutángulo se trazan las alturas AD y BE. Probar que la circunferencia de diámetro AB pasa por los pies D y E de las alturas. Si el ángulo BAC=64°, calcular el ángulo ADE.
1. los lados ED son perpendiculares a AB.
2. F es el punto medio de AB
3. Los radios FA=FB por ser AB el diámetro.
4. Los radios FE=FD y por tanto la circunferencia toca estos 2 puntos que son los origen3es de las alturas AC y BC.
35. Encontrar los ángulos de un cuadrilátero inscriptible ABCD, si la diagonal AC hace con los lados AB y AD ángulos de 45° y con la diagonal BD un ángulo de 70°.
1. El ángulo A= 90º (45*2).
2. El ángulo B= 140º (70*2).
3. el cuadrilátero toma forma achatada en el lado BC.
4. las diagonales dividen en dos ángulos iguales los vértices A y B, pero no sucede lo mismo en los vértices B y C.
5. en D se forma el ángulo ADB cuya medida es 40º.
6. el agudo BDC mide 90º.
7. en el vértice C se forman dos ángulos ACB= 50 y ACD=40.
profe este es el otro ejercicio
27. el angulo ABB' es congruente con el angulo ACC' por alternos internos.
el angulo AB'B es congruente con el angulo AC'C por alternos internos.
la recta BB' es palaralela con la recta CC' por colorario: si entre dos rectas y una transversal se forman un par de angulos alternos internos congruentes entonces las dos rectas son paralelas.
esto quiere decir que BB' es paralela a CC' lo que da.
Profe presento solucion al Ejercicio nº 28
En un triángulo rectángulo el ángulo opuesto a la Hipotenusa es el ángulo recto,dibujando una circunferencia cuyo diámetro sea la Hipotenusa, el vértice restante deberá encontrarse sobre ella. El cateto que nos dan deberá partir de uno de los extremos de la Hipotenusa. Se traza la circunferencia de centro uno de esos puntos y de radio la longitud del cateto.
Uno de los puntos de intersección entre las dos circunferencias anteriores determina el tercer vértice y, por tanto, los lados.
Y ya con el Teorema de Pitágoras podemos calcular el cateto que falta.
Al conocer los tres lados, podemos calcular el Seno y el Coseno de los dos ángulos agudos, por ello, ambos ángulos quedarán determinados.
Alvaro Javier Restrepo Escobar Grupo 67
solucion ejercicio 8
por el punto de de contacto A de dos circunferencias tangentes exteriormentese traza una cuerda BAC Demostrar que las tangentes en B y en C son paralelas.
trazamos la tangente en B (y) y en C (y´). En la C (O,r) trazamos el radio ob y en la C(O´,r´) de donde observamos el triangulo OAB congruente con el triangulo O´A´C´ por lado angulo lado de donde los angulos z y z´alternos internos entonses y´ y son paralelas.
solucion ejercicio 34
En una circunferencia tomados los puntos abcde en el mismo sentido de donde los arcos ab, bc, cd, de miden 90, 60, 45, 105 respetivamente.
el arco EA es = 90+60+45+105+EA=360 de donde EA= 360-300=EA=60
El valor de angulo inscrito ABC es igual a AC/2= 210/2 =105.
El valor de la angulo inscrito BCD=DB/2=255/2=127.5.
el valor del angulo inscrito CDE=EC/2=210/2=105.
El valor del angulo inscrito DEA= DA/2=195/2=97.5.
El valor del angulo EAB=EB/2=210/2=105.
Los angulos formados por la interseccion de las cuerdas EB y AD siendo interiores son iguales a EA+DB/2=105++60/2=82.5., y los formados por los arcos ED y AB son iguales ED+AB/2= 105+90/2= 97.5.
Al trazar la tangente FBT se forman los angulos seminscritos ABF y CBT son iguales a 90/2= 30 y 60/2= 30 respectivamente.
Hola profe
le he mandado los ejerecicios al correo debido a que no se me posibilitó enviar las gráficas por este medio ....
Muchas Gracias!!
Solución Ejercicio 33.
demostrar FB=BD
1. arco AB=180
2. ángulo C= AB/2= 90
3. arco CH=arco BH
4. Tenemos los ángulos α,β,Ω,ϕ,θ,D
4. α+β= 180
5. 2Ω+ϕ = 90
6. Ω+ϕ+α=180
7. ecu 6 menos ecu 5
α-Ω=90
8. α=β+θ
9. θ+β+D=180
de donde
10. θ+β=180-D
11. igual ecu 10 y ecu 8, de donde
α=180-D
12.ecu 4 en ecu 11
α=α+β-D (se cancelan α y α)
de donde
13. β=D de donde el triangulo DBF
es isóceles por a,l,a
Lado FB=BD
Demostrar FH=HD
1. DB=FB
2. CF=FB
3. de donde DB=CF
4. FD= FH+HD
5. AD=AF+FH+HD
5. DB=HD*AD/2
6. CF*FB=AF*FH
recordar que FB=DB
de donde: DB=AF*FH/2
7. igualamos ecu 6 y ecu 5
HD*AD/2=AF*FH/2
CF*HD*AD=DB*AF*FH
CF*HD*AD=CF*AF*FH (cancelamos CF) de donde
HD*AD=AF*FH
HD(AF+FH+HD)=AF*FH
HD*AF+HD*FH+HD*HD=AF*FH
HD(FH+HD)=FH(AF-HD)
NOTA: no me dan las igualdades entre HD y FH
Solución ejercicio nº23
Se traza MN, recta que une los puntos medios de las cuerdas CD y C'D'.
Se trazan las cuerdas que unen a CD y a C'D'quedando asi un trapecio CDC'D'.
Por propiedades de el trapecio, la línea que une los puntos medios de los lados opuestos es paralela a las bases en este caso CC' base menor y DD' base mayor y es igual a su semisuma.
Por consiguiente si MN es paralela a CC' y a DD' los cuales son perpendiculares a AB diametro, esta también es perpendicular.
Alvaro Javier Restrepo
25 ejercicio.
En un triangulo ABC acutangulo, se trazan las alturas AD y BE, Probar que la circunferencia de diametro AB pasa por los pies D y E de las alturas. Si el ángulo BAC=64°, calcular el ángulo ADE.
1. la recta AC intersecta la el arco AB en el punto E, la recta BE (Altura del triangulo ABC) se es perpendicular a la recta AC formando ángulo de 90° en E.
2. los ángulos internos del triangulo ABE, suman 180°
3. El ángulo en A es inscrito y tiene una abertura de 64°, el ángulo A= arco EB/2; despejando tenemos que, 2A= arco EB.
2(64°)=arco EB, entonces el arco EB=128° de la circunferencia con diametro AB
4. el arco AE + arco EB = 180°, entonces AE+128°=180°, de donde, AE=180°-128°; el arco AE=52°.
El ángulo ABE, está inscrito en la circunferencia y su valor es arco AE/2, entonces, el ángulo ABE=26°.
5. de acuerdo al punto 2, 26°(ABE)+64°(AEB)+90°(AEB)=180°.
6. La recta AD es perpendicular al lado BC del triangulo ABC y forma un ángulo de 90° en el punto D; la recta BC intersecta al arco AB en el punto D.
7. anteriormente identificamos el valor del arco AE=52°; el ángulo ADE está inscrito en la circunferencia y su valor el AE/2; de donde el Ángulo ADE=26°
profe soy juan guillermo medina del grupo-67
la solucion del punto6
se traszan dos construciones auxiliares desde los puntos C y D que llegan al punto medio del diametro AB
AO=BO porque O es punto medio del diametro AB
AC=BD por la hipotesis del problema
los angulos que se forman en las construcciones auxilares son iguales por opuestos por el vertice
entoces decimos que los triangulos ACO y BDO son iguales y congruentes por l.l.a
decimos que los angulos AOC y BOD son iguales por correspondientes en triangulos congruentes
12. En una C(O;r) se traza una cuerda y se toman los puntos medios M del arco mayor y N del arco menor . Se trazan las bisectrices de los ángulos MAB y MBA que se cortan en I y cortan a la circunferencia en D y F; se traza DF que corta a MN en H. Demostrar que:
a. El punto I está sobre la recta MN .
b. DH=HF
Hipótesis:
• C(O,r)
• AB es una cuerda
• M punto medio del arco mayor
• N punto medio del arco menor
• AD bisectriz del ángulo MAB
• BF bisectriz del ángulo MBA
Construcción Auxiliar:
1. Trazo MN, la cual es perpendicular a la cuerda AB y la corta en H, por teorema y por M punto medio del arco mayor y N punto medio del arco menor y MN es diámetro de C(O,r).
Demostración: Justificación:
Tesis a: El punto I esta sobre la recta MN
1. MN AB Por construcción auxiliar
2. AD bisectriz <MAB Por hipótesis
3. BF bisectriz <MBA Por hipótesis
4. < =< Por 2 y 3
5. AI=BI Por 4 y T: A ángulos iguales se
oponen lados iguales.
6. IH=IH Propiedad reflexiva
7. AIH BIH Por congruencia de triángulos ALL
en 4, 5 y 6.
8. Si MN AB, corta AB en H y AIH BIH
Entonces, el punto I esta sobre MN. Por construcción auxiliar y 7
L.q.q.d
Tesis b: DH=HF
9. AI x ID=BI x IF Por T: En toda circunferencia si dos
cuerdas se intersectan, el producto de los segmentos formados por una, es igual al producto formado por la otra.
10. AI x ID=AI x IF Sustitución de 5 en 9
11. ID=IF Propiedad uniforme en 10
12. AD=AI+ID Suma de segmentos
13. BF=BI+IF Suma de segmentos
14. AD=BI+IF Sustitución de 5 y 11 en 13
15. BF=AD Propiedad transitiva en 13 y 14
16. HA=HB Por elementos correspondientes de triángulos congruentes en 7
17. HBF HAD Por congruencia de triángulos LAL en 15, 4 y 16
18. DH=HF Por elementos correspondientes de triángulos congruentes en 17
L.q.q.d
Profesor esta es la solución de de los puntos 1 y 19 que fueron los puntos que me fueron asignados.
1.
Tesis
OFβ=OGβ’
Hipótesis
-EA=DB
-OA=Radio
-OB=Radio
-OC=Radio
-OA=OB=OC
-CE=CD
Demostración
1- OC en OEC= OC en ODC
2- OE=OD Suma de tramos
3- OEC ≈ ODC
4- < β=< β’
5- <E=<D
Hay congruencia en los tres lados de los dos triángulos Rectángulo, por lo tanto en los triangulos internos también podemos tener ángulos congruentes (β’= β) y (θ=θ’), por lo tanto <F = <G, CF=CG....
19.
Tesis
AM BN
β’= β
Hipotesis
OA=OB=ON (radios)
AM=BN
-Aquí se forman dos triángulos rectángulos isósceles (1 y 2).
- Ya que cada uno tiene 2 lados iguales (catetos, radios)
- Debido a esto cada ángulo de cada cateto es igual a 45º
-La suma de los ángulos (β=45º) y (β’=45º) es igual a 90º, lo cual quiere decir que se forma un ángulo recto, y hay perpendicularidad.
Profesor le envio la solucion pero no las imagines ya que no he sido capaz por ello se las mando al correo.
ESTEFANIA MUÑOZ JARAMILLO
GRUPO:15
Profesor esta es la solución de de los puntos 1 y 19 que fueron los puntos que me fueron asignados.
1.
Tesis
OFβ=OGβ’
Hipótesis
-EA=DB
-OA=Radio
-OB=Radio
-OC=Radio
-OA=OB=OC
-CE=CD
Demostración
1- OC en OEC= OC en ODC
2- OE=OD Suma de tramos
3- OEC ≈ ODC
4- < β=< β’
5- <E=<D
Hay congruencia en los tres lados de los dos triángulos Rectángulo, por lo tanto en los triangulos internos también podemos tener ángulos congruentes (β’= β) y (θ=θ’), por lo tanto <F = <G, CF=CG
19.
Tesis
AM BN
β’= β
Hipotesis
OA=OB=ON (radios)
AM=BN
-Aquí se forman dos triángulos rectángulos isósceles (1 y 2).
- Ya que cada uno tiene 2 lados iguales (catetos, radios)
- Debido a esto cada ángulo de cada cateto es igual a 45º
-La suma de los ángulos (β=45º) y (β’=45º) es igual a 90º, lo cual quiere decir que se forma un ángulo recto, y hay perpendicularidad.
Profesor los dibujos se los envio al correo
Estefania Muñoz Jaramillo
solucion ejercicio 18
al hacer la figura se crea un triangulo rectangulo que a la ves es isosceles y dentro de el tambien se forman dos triangulos que al demostrar la igualdad y semejanza de los dos podemos decir que que OC si es perpendicular AB
triangulo AOP 1
triangulo POB 2
el tiangulo 1 es igual y congruente al triangulo 2 por L-L-A ya que OA=OB por ser radios de una circunferencia
y al ser AOB un triangulo isoceles el angulo OAB es igual al angulo OBA y OC es lado en comun
entonces alfa y alfa prima son angulos iguales y son suplementario y miden 90 entonces OC es perpendicular AB y OC es tambien bisectriz del angulo O
profe solo me queda faltando el ejercicio que le pedi que rebisara por lo que le comente de que estaba mal escrito. esperando la respuesta gracias
ejercicio 15
Dos circunferencias de c(o;r) y (O';r') se cortan en A; se une A con el punto medio M de O O' y se traza la perpendicular a AM en A que corta la C(O;r) en B y a la C(O';r') en c. demostrar que AB=AC
M: punto medio de OO'
OM=O'M
AD= cuerda comun
OO'= es mediatriz de AD EA=ED
La menor distancia de un punto a una recta es la perpendicular bajada del punto a la recta.
MA es la menor distancia entre OO' y BC
En toda circunferencia si dos cuerdas tienen la misma longitud, ellas equidistan del centro.
Siendo BFC un triangulo
AG es segmento perpendicular a BC
AG es mediatriz que es la perpendicula a un segmento en su punto medio.
BA=AC y A es punto medio de BC
cordial saludo.
de parte de GUSTAVO ADOLFO ALVAREZ BARRETO
solucion de los ejercicios 7 y 21
ejercicio 7.
primero demostre congruencia entre los tring. que se forman.
OB=OB`por ser radios de la circunf.
ON es lado comun de los triang.
B`N=BN por ser simetricos
entonces los triangulos son congruentes.(LLL)
se dice que el angulo B`es perpendicular osea de 90º. y como los tringulos son congruentes el angulo B es tambien de 90º y como hay una propiedad de la tangente que la interseccion de un radio con una tangente forma angulos de 90º, por lo tanto NB es perpendicular al diametro AB con radio OB. NB es tangente de la circunferencias.
EJERCICIO 21.
como el trapecio tiene dos lados paralelos como lo son en este caso AB //DC.
y como hay una propiedad de la circunf. que dice que si dos cuerdas son paralelas, entonces los arcos que subtienden son iguales
por lo tanto el arco AD = al arco BC e igualmete sus lados conprendidos entre ellos que son AD = BC entonces el trapecio es isosceles porque sus lados no paralelos son iguales.
QUE TENGA UN FELIZ DIA
GRACIAS
SOLUCION EJERCICIO 33
1.angulo CAD = angulo DAB... segmento AD biceptriz angulo CAB
2.angulo CAD = 1/2 arco CH... angulo CAD inscrito
3.angulo DAB = 1/2 arco HB... angulo DAB inscrito
4.arco DH = arco HB... 2 y 3
5.se traza HB segmento
6.angulo DBH = 1/2 arco HB...angulo seminscgrito
7.angulo CFH = 1/2 arco CH...angulo inscrito
8.angulo CBH = angulo HBD... 4,6 y 7
9.segemnto HB = segmentoHB... segmento comun
10.segmento FH = segmento HD... a angulo mayor se opone lado mayor, 8
11. triangulo FHB igual y congruente con triangulo HBD... LLA 8,9 y 10
12. segmento FH = segmento BD... elementos correspondientes en triángulos congruentes
17. Probar que la cuerda más pequeña que pasa por un punto (x) interior a una circunferencia es perpendicular al diámetro que pasa por dicho punto
Sean A y B los extremos de la cuerda
Trazo los segmentos: AO y BO
AO = BO por ser radios
De donde:
El triángulo AOB es isósceles
Trazo una línea desde el punto (x) hasta el centro y hallo congruencia entre los dos triángulos que se forman (triángulo AOX y el triángulo BOX):
AO = BO Por ser el triángulo AOB isósceles
<A = <B Por ser el triángulo AOB isósceles
OX = OX Por ser lado común
De donde:
ΔAOX =˜ ΔBOX
De donde:
El segmento OX es altura, bisectriz y mediatriz, por lo que se dice que la cuerda es perpendicular al diámetro.
diego ramirez rios grupo 17
25. En un Triángulo ABC acutángulo se trazan las alturas AD y BE . Probar que la circunferencia de diámetro AB pasa por los pies D y E de las alturas. Si el ángulo BAC=64°, calcular el ángulo ADE.
solucion ejercicio 25.
1.la recta BE (altura del triangulo) es perpendicular a la recta AC formando un ángulo de 90°en el punto E
2.los angulos A+B+E=180°
--> 64°+B+90°=180° => B=154°-180°
B=26°
3.El angulo A vale 64° es inscrito
A= ARCO BE/2
2A=ARCO BE
2(64°)=ARCO BE
BE=128°
4.El angulo B vale 26° es inscrito
B= ARCO EA/2
2B= ARCO EA
2(26°)=EA
EA=52°
5.La recta AD (altura del triangulo)es perpendicular a la recta BC formando un angulo de 90° en el punto D
6.trasamos una cuerda que une los puntos E y D y nos forma el triangulo ADE
7.El angulo D es inscrito
D= ARCO EA/2
Ya conocemos el arco EA que es igual a 52°
--> D=52°/2 => D=26°
El angulo ADE= 26°
Ejercicio 35.
Alumno RUSBEL GOMEZ.
GRUPO 17.
1) Se realiza la gráfica y donde se cortan las diagonales de AC y BD, lo llamaremos el punto O.
2) Las diagonales forman triángulos, uno de ellos el AOB, del cual conocemos 2 ángulos, el tercero se define: 45°+70°+z=180° z=65°.
3) Se definen todos los ángulos formados en el punto O, por criterios de opuestos por el vértice y ángulos complementarios, por lo tanto se obtiene 2 ángulos de 70°, y otro par de 110°
4) Se descubren los valores de los ángulos en el triangulo AOD que serian:
45° dado
110° complementario
Tercer Angulo: 45°+110°+w=180° w=25°
5) Se dan valores a los segmentos BC y CD:
Angulo A= (BC+CD)/2
Reemplazando:
90= (BC+CD)/2
BC+CD=180°
Como BC y CD son arcos conformados por 2 ángulos iguales (45°), entonces arco BC=90 y CD=90
6) Con estos últimos datos de los arcos BC y CD podemos encontrar el valor de los ángulos restantes para los triángulos COD y BOC, junto con el teorema del triangulo (los ángulos internos de un triangulo suman 180°).
Angulo U=BC/2 U=90°/2 U=45°
Angulo T=DC/2 T=90°/2 T=45°
Por lo tanto en el triangulo BOC tenemos ángulos de 45°,110° y 25°
En el triangulo COD tenemos ángulos de 45°, 70° y 65°
6) Solo que da realizar sumas de ángulos comunes y dar por solucionado el problema:
Cuadrilátero ABCD la suma de sus ángulos es de 360°
A=45°+45°=90°
B=65°+45°=110°
C=25°+65°=90°
D=45°+25°=70°
VERIFICACION
Ángulos A+B+C+D =360°
90°+110°+90°+70°=360°
EJERCICIO 16
Alumno RUSBEL GOMEZ
Grupo 17
1)Se realiza la grafica y se puede complementar realizando una construcción auxiliar del segmento EF y el segmento z y z´ la cual es paralela a la cuerda DC. Para formar triangulos semejantes por el criterio L-L-A.
2)Con estos triangulos y líneas auxiliares se puede establecer que el segmento EG=BH
Construccion aux. zz´//DC
OR=OR´ distancia perpendicular del centro de la circunf. a las cuerdas AE y BF iguales, y es demostrable su igualdad por congruencias entre triangulos.
GR=HR distancia perpend. entre //.
Entonces triangulo 1 congruente al triangulo 2 por L-L-A
Se relaciona segunlo anterior:
ER=BR
EG+GR=BH+HR
EG+HR=BH+HR
EG=HR LqqD
3)Para hallar la segunda incognita que pregunta el ejercicio puedo trazar una linea auxiliary que pase por O y sea // a los segmentos AE y BF.
4)Se identificar mas triangulos congruentes por L-L-A con trazar los radios entre OD y OC.
Con esta congurencia puedo establecer facilmente que también DG=HI LqqD.
Los procedimientos son muy semejantes para hallar las igualdades que piden en el problema.
Daniela Agudelo Castro.
Profe las gráficas se las mando al correo.
Ejercicio 6. En una C (o;r) se trazan por los extremos de un diámetro AB dos cuerdas paralelas AC y BD. probar que el ángulo ACO= ángulo BDO.
T: ángulo ACO= ángulo BDO.
C.A= Se traza un segmento desde el punto C hasta el D.
Hipótesis: AB es diámetro
AC y BD son cuerdas paralelas.
Demostración:
1. Ángulo ACD y el ángulo ABD abrazan a la misma cuerda AD porque ellas son iguales.
2. Ángulo COA = ángulo BOD por ser opuestos por el vértice.
3. El triángulo COA es semejante al triángulo BOD, por lo tanto OC/OB= OA/OD
4. Los triángulos ACO y BDO son semejantes por lo que los ángulos ACO y BDO son iguales por el teorema del ángulo inscrito de la misma forma que son iguales los ángulos ACO y BDO.
Lqqd
Ejercicio 25. En un triángulo ABC acutángulo se trazan las alturas AD y BE. Probar que la circunferencia de diámetro AB pasa por los pies D y E de las alturas. Si el ángulo BAC=64°, calcular el ángulo ADE.
T: diámetro AB pasa por los pies D y E de las alturas.
Hipótesis: ABC es triángulo acutángulo.
(alfa,beta y gamma) son ángulos interiores.
AD y BE son alturas.
AB es diámetro.
Demostración:
1. AB y CA en D y E se interceptan porque pasan por los vértices.
2. E y D son perpendiculares a AB.
3. O es el punto medio de AB
4. OE = OD porque son las alturas que pasan por el diámetro AB.
Lqqd
Cálculo del ángulo ADE.
alfa+beta+gamma= 180°
64+64+gamma= 180°
128+gamma= 180°
gamma= 180° +128°
gamma= 52°
grupo 17
ejecicio 27
Los angulos BAB' y CAC' son congruentes y opuestos por el vetice.
Al igual los angulos BAC' y CAB' son congruentes y opuestos por el vertice.
Por lo tanto BB' y CC' son paralelos ya que son corolarios y todos sus angulos son congruentes y opuestos por el vertice
Solución ejercicio 5
grupo 17
a)Para que sea solo una única solución el radio menor (r)de la circunferencia inscrita debe ser la mitad del radio (R) de la semicircuferencia, esto satisface la ecuación r= 1/n*(1/2)R, siendo n el número posible de soluciones.
b) Para que exitan dos soluciones el radio r debe ser 1/4 del radio (R)de la semicurcunferencia, satisface la ecuación r= 1/n*(1/2).
Santiago Ramírez R. Grupo #17
Ejercicio # 21: Probar que todo trapecio inscrito en una circunferencia es isósceles.
Hacer la circunferencia con centro O, dibujar el trapecio ABCD, inscrito en la C(O,r.)
Por construcción sabemos que AB y DC son paralelas.
Trazamos radios a los puntos A, B, C Y D.
Sabemos que los arcos son iguales a los ángulos, por ser ángulos centrales, y los ángulos son iguales por ser ángulos opuestos por el vértice.
Hay un teorema que nos dice que a arcos iguales, cuerdas iguales. Gracias a este teorema podemos decir que DA y CD son iguales.
El trapecio es isósceles. Lqqp.
coordial saludo
Brayan londoño grupo17
ejercicio 30
En un Triángulo ABC inscrito en una circunferencia se trazan las bisectrices de los ángulos A y B que se cortan en I y cortan a la circunferencia en D y F. Demostrar que DI=DB.
realizamos una circunferencia de cualquier diametro con un tuangulo inscrito cualquiera con 3 puntos ABC
trazamos bisectrices de AyB que cortan la circunferencia en DyF y se interceptan dentro de esta en I, realizamos el segmento DB y decimos que
1- Arco CD=DB por la bisectriz del angulo CAB
2-Arco Cf=AF por la bisectriz del angulo FBD
3-El angulo IBD=CF+CD/2 por definicion de angulo inscrito
4-El angulo DIB=DB+AF/2 por definicion de angulo inscrito
5-Por lo planteado en 1y2 podemos llevar 3y4 a una misma funcion de lo cual de ducimos q son angulos iguales.
y por ALA lo que querimos demostrar que el triangulo DIB es isoseles
SOLUCION PUNTO nº 2
T: BH=GE ^ HC=GD
AB=DIAMETRO
FB perpendicular CD
AE perpendicular CD
FB parlela AE
AE=FB
ang CHF = 90º
ang AGD = 90º
ang H = ang G
arc DE = arc CB
arc HC = arc GD
*CONSTRUCCION AUXILIAR: linea DE y linea CB
DE=CB
TRIANGULOS CONGRUENTES
triangulo DEG = triangulo CBH
BH=GE ^ HC=GD
att: fray santiago cespedes zuleta
grupo: 15
profe le hago la correccion....el punto que acabo de publicar hace poco ....es la solucion del punto 16.
coordial saludo
Brayan londoño grupo 17
ejercicio 10
Dos circunferencias C(O; r) y C(O'; r') son secantes en A y B; por A se trazan los diámetros AC y AD . Demostrar que C, B y D están alineados.
Hacemos 2 circunferencias que se cortaran (secantes)en 2 puntos que formaran el segmento AB que seran donde se corten las circunferencias
trazamos de el punto A, los diametros de las circunferencias OyO' que generaran los puntos C y D, formando el triangulo ACD.
para la demostracion trazamos la linea OO' que nos servira para mostrar congruencia entre los triangulos OAO' y OBO' por LAL,luego el segmento OO' es la mediana de AB.
Se forma el cuadrilatero OAO'B que es un rombo.
1-OA=OB por radios de la circunferencia O
2-O'A=O'B por radios de la circunferencia O'
3-triangulo OAO'=OBO' por congruencia de LAL
4-Segmento OO' por elementos correspondientes de triangulos congruentes y el teorema de circunferencias secantes es mediatriz de el segmento AB
5-por lo tanto el cuadrilatero OAO'B es un rombo
6-O+B=180
7-AnguloB=90° por suma de angulos
8-Angulos C+D=90° por suma de angulos
9-Angulos C+B+D=180°
10-Donde lo que queriamos demostrar que el segmento CBD estan alineados.
Cordial saludo:
Grupo 17
15. Dos circunferencias C(O; r) y C(O'; r') se cortan en A; se une A con el punto medio M de OO´ y se traza la perpendicular a AM en A que corta a la C(O; r) en B y a la C(O'; r') en C. Demostrar que AB=AC.
Se trazan dos diámetros paralelos al segmento AM y perpendiculares al segmento BAC que pasen por los extremos del segmento OO' y por el teorema de la circunferencia que menciona que todo diámetro perpendicular a una cuerda, la divide a ella y a los arcos comprendidos en partes iguales de lo que se deduce que el segmento AB = AC
Sean
WX = diámetro de C(O; r)
YZ = diámetro de C(O'; r')
T = punto medio de la cuerda BA de la C(O; r)
S = punto medio de la cuerda AC de la C(O'; r')
BA = BT+ AT
AC = AS + SC
WX ┴ BA WX ║ AM
YZ ┴ AC YZ ║ AM
BT = AT Por teorema
AS = SC Por teorema
AT = AS Por ser paralelas a AM
BT = AS Reemplazo el valor de AT
AS = SC
Sumo estas dos igualdades
BT + AS = AS + SC Sumo elementos semejantes
BT = AS
De donde:
BT + AT = AS + SC
Por lo que se dice que el segmento BA = AC
EJECICIO 13:
En una circunferencia c (0, r) se trazan dos radios OA y OB una cuerda MN perpendicular a la bisectriz del ángulo AOB; MN corta a OA en F y a OB en G demostrar que MF = NG y FA =GB
Hipótesis:
OA y OB son radios de la circunferencia.
MN es cuerda.
OH es bisectriz del ángulo AOB.
MF es perpendicular a AO; NG es perpendicular a OB.
Tesis:
MF = NG
FA = GB
Demostración:
RAZÓN JUSTIFICACIÓN
1. El triangulo FOD es igual y congruente con el triangulo DOG 1. (A-L-A)
Ángulo FOD =l con el ángulo DOG (OC bisectriz del ángulo AOB)
Ángulo ODF =con el ángulo ODG (Perpendicularidad)
OD=OD (Lado común)
2. FO=OG 2.Lados correspondientes en triángulos congruentes, por (1)
3. FD=DG 3.Lados correspondientes en triángulos congruentes, por (1 )
4. MD=DN 4. Teorema, radio perpendicular a una cuerda
5. MF+FD=DG+GN 5. Suma de segmentos, (4)
6. MD-FD=DN-GN 6.Sustraccion de segmentos iguales, (3) y( 4)
MF = GN Lqqd
7. OA=OB 7.Radios, hipótesis
8. OF+FA=OG+GB 8.Suma de segmentos, (7)
9. OA-OF=OB-OG 9.Sustraccion de segmentos iguales, (7) y (8)
FA = GB Lqqd
EJERCICIO 34
Sobre una circunferencia se toman consecutivos y en un mismo sentido de rotación los puntos A, B, C, D y E, tales que los arcos AB,BC ,CD y DE midan respectivamente 90°, 60°, 45° y 105°. Encontrar:
a. La medida del arco EA.
b. El valor de los ángulos ABC, BCD, CDE, DEA, EAB.
c. El valor de los ángulos que se forman en el punto H, intersección de las cuerdas EB y AD.
d. El valor de los ángulos que se forman en el punto I, intersección de las cuerdas ED y BC.
e. El valor de los ángulos que se forman en el punto B, al trazar la recta tangente FBT.
Hipótesis:
A, B, C, D y E consecutivos en el mismo sentido
Arco AB=90 grados, arco BC=60 grados, arco CD=45 grados, arco DE= 105 grados
Demostración:
a. AB+BC+CD+DE+EA=360
90+60+45+105+EA=300
AE=60
b. Por ser ángulos inscritos: equivale a la mitad el arco que lo subtiende.
Angulo ABC= AE+ED+CD/2 = 60+105+45/2 =105
Ángulo BCD= DE+EA+AB/2 = 105+60+90/2 =127.5
Ángulo CDE= BC+BA+AE /2 = 60+90+60/2 = 105
Ángulo DEA= AB+BC+CD/2 = 90+60+45/2 = 97.5
Ángulo EAB = BC+CD+DE/2 = 60+45+105/2 = 105
c. Por ser ángulos interiores: es igual a la semisuma de los arcos que subtienden sus lados y los lados opuestos por él.
α=AE+BC+CD /2 = 60+60+45 /2 = 82.5
Β y α son opuestos por el vértice, entonces Β =α
ϕ= AB+ED/2 = 90+105/2 = 97.5
θ y ϕ Son opuestos por el vértice, entoces θ =ϕ
d. Al trazar la tangente FBT se forman los ángulos seminscritos, por ser ángulos seminscritos: son igual a la mitad del arco que los subtiende.
Ángulo ABF = AB/2 = 90/2 = 45
Ángulo CBT= BC/2 = 60/2 =30
DARLY GALLEGO CHAVERRA
GRUPO 15
Solución del ejercicio # 10 por JOHN EDISON RESTREPO grupo 15
HIPOTESIS
C(o,r) U C(o´,r´) = AB
AC diámetro y AD diámetro
TESIS
C-B-D colineales
FIGURA
Se trazan los diámetros AC & AD,tambien se traza el segmento AB y se unen los puntos CBD
DEMOSTRACIÓN Y JUSTIFICACIÓN
1. el ángulo ABD = 90° & el ángulo ABC = 90° por ser ángulos inscritos en media circunferencia o ángulos inscritos que subtienden un arco de 180°
2. ángulo ABD + ángulo ABC = 180° por suma de ángulos
3. CBD son colineales por ser el ángulo CBO llano.
EJERCICIO 12
En una C(O;r) se traza una cuerda y se toman los puntos medios M del arco mayor y N del arco menor . Se trazan las bisectrices de los ángulos MAB y MBA que se cortan en I y cortan a la circunferencia en D y F; se traza DF que corta a MN en H. Demostrar que:
a. El punto I está sobre la recta MN .
b. DH=HF
CONSTRUCCION AUXILIAR
Se traza MN, la perpendicular a la cuerda AB, y se corta en H, por el teorema y por el punto medio de N, arco menor y punto medio de M,del arco mayor y MN es el diametro de C(o,r)
HIPOTESIS
*C(o,r)
*AD es la bisectriz del angulo MAB
*BF es la bisectriz del angulo MBA
*N es el punto medio del arco menor
*M es el punto medio del arco mayor
*AB es una cuerda
DEMOSTRACION
- El punto l esta encima de la recta MN
a.)
1.AD es bisectriz < MAB por la hipotesis
2.BF es la bisectriz < MBA por la hipotesis
3.lH=lH propiedad reflexiva
4.Al=Bl por 4 y T= los angulos iguales se oponen a los lados iguales
5.es <=< por la bisectriz de 1 y 2
6.MN AB es por construccion
7.AlH BlH es por congluencia de los triangulos ALL en el 6, 4 y 3
8.Si MN AB, corta a AB en H y AlH BlH, decimos, que el punto l esta encima de MN por construccion y en 7
b.)
9.AD=AL+lD la suma de segmentos
10.BF=Bl+iF la suma de segmentos
11.iD=iF es propiedad uniforme en 13
12.Al x lD=Bl X lF por T: en toda la circuferencia si dos cuerdas se intersectan, el producto de los segementos formados . por una, tiene resultado igual al producto formado por la otra
13.Al X lD=Al X lF la sustitucion de 5 y 12
14.AD=Bl+lF la sustitucion de 5 11 y 10
15.BF=AD es propiedad transitiva en 10 y 14
16.HA=HB es por elementos correspondientes de triangulos congruentes
17.HBK HAD por la congruencia de triangulos LAL en 15,4 y 16
18. DH=HF por los elementos correspondientes de triangulos congruentes en 17
EJERCICIO 19
En una C(O; r) se trazan dos radios perpendiculares OA y OB y en el mismo sentido con respecto a los radios se trazan dos cuerdas iguales AM=BN. Demostrar que ellas son perpendiculares.
sintesis
OA=OB=ON
AM=BN
hipotesis
AM BN
B=B
*correspondiente a este cada angulo de un cateto es igual a 45°
*tambien se forman dos triangulos rectangulos isoceles. Ya que cada uno tiene 2 lados iguales(CATETOS y RADIOS)
*la suma de los angulos es(B=45°) Y (B'=45°)esto es igual a 90°,lo cual se dice q se forma un angulo rectoy tambien perpendicular
BRYAN CASTAÑO
GRUPO 17
solución de los ejercicios asinados, punto 4.
4* En una C(O,R) un diámetro AB y una cuerda AC forman un ángulo de 30°, se taza la tangente en el punto C que corta al diámetro prolongado en el punto D. Demostrar que el triángulo ACD es isósceles.
*HIPOTESIS: C(O,R) ángulo DAC = 30° CD tangente.
*TESIS: Triángulo ACD isósceles
*DEMOSTRACIÓN:
1* Triángulo AOC isósceles
2* ángulo OAC congruente ángulo OCA
3* Ángulo COD = 60°
4* Ángulo CDO = 30°
*JUSTIFICACIÓN:
1* Por tener 2 lados iguales OA congruentes OC radios.
2* En todo triángulo a lados congruentes se oponen ángulos congruentes.
3* En todo triángulo un ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes a él.
4* Por ser el complemento del ángulo COD en el triángulo COD.
solucion ejercicio 16
en una c(O,R) se tiene un diametro y una cuerda cualquiera cd,de A se traza la cuerda AE perpendicular a la direccion de CD y de B se traza la cuerda BF perpendicular a CD, AE Y BF prolongadas cortan a CD o a sus prolongaciones en G y H. demostrar que EG=BH Y HC=DG
dado AE perpendicular a CD Y BF perpendicular a CD unamos E Y B luego triangulo BAE es rectangulo porque todo triangulo inscrito en una semicircunferencia es rectangulo.
el cuadrilatero EBHG es rectangulo por tener 3 angulos iguales a 90 de donde EB es paralelo a BH.
observe que tambien pudimos haber establecido el paralelismo anterior por el criterio de perpendiculares a terceras son paralelas, ademas GE=HB los angulos opuestos congruentes o distancia entre paralelas es constante.EC es congruente DB cuerdas entre paralelas congruentes.entonces triangulo rectangulo GEC es congruente con triangulo rectangulo HBD (RHC) entonces GC=DH ls.hs, luego GC mas CD=GD 1 Y CD mas HD=CH 2 DE 1 MENOS 2 GD=CH
SOLUCIÓN EJERCICIO 21.
21* PROBAR QUE TODO TRAPECIO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA ES ISÓSCELES.
* HIPOTESIS: ABCD trapecio sea BC// AD lados. // del trapecio.
* TESIS: ABCD trapecio isósceles.
*DEMOSTRACIÓN:
1* AB congruente CD---------1* En toda circunferencia cuerdas //s interceptan arcos congruentes.
2* AB congruentes CD--------- 2*En toda circunferencia a arcos congruentes. definición cuerdas congruentes.
3* ABCD trapecio isósceles.
4* La base de un trapecio o inscrito en una circunferencia es el diámetro.
5* Si se construyen las alturas, los cortes tangentes a la circunferencia, esos cortes son congruentes.
6* los dos ángulos son de 90° por que son alturas.
7* Por definición de alturas
8* y son congruentes por definición de lineas paralelas.
PAOLA ANDREA BETANCUR ECHAVARRÍA.
GRUPO: 15.
profesor soy david aristizabal gallego del grupo 15. aqui le envio los puntos # 5 y 23 de circunferencias.
PUNTO #5:
En una semicircunferencia de radio R inscribir una circunferencia de radio r. b) ¿cual condicion deben cumplir los radios R y r para q exista una unica solucion?, ¿para dos soluciones?
desarrollo:
b). 2. soluciones
1. AB = Y perpendicular CD
2. BE paralelo AC
3. CF = y semejante Y
4. con centro en O y radio OF = R-Y
trazo semicirculo.
5. C (O, R-Y) BE (angulo 180
grados) = O', O" centros de
circulo de radio r tangentes a
C (O,R) y tangentes a CD.
a). 1 solucion si R-r = R/2 luego
R-R/2 = r r=R/2
PUNTO #23:
En una C(O;r) se tienen dos cuerdas CC´y DD´perpendiculares a un diámetro AB; se trazan CD y C´D´ . Probar que la recta que une los puntos medios de CD y C´D´ es perpendicular al diámetro AB .
-AB = diametro
-CC' paralelo AB
-DD' paralelo AB
-T = XY paralelo AB
-CD = C'D'
-DB = QD
-CA = AC'
-CW = WC'
-CX = XD --> X= pto mendio de CD
-C'Y = YD' --> Y= pto medio de C'D'
-CX = CY
-XD = YD
-XQ = QY
-triangulo QXM = triangulo QYM
-XM = MY °°° --> XY perpendi... AB
PROFESOR AY LE DOJO LOS PUNTOS 5 Y 23 DE CIRCUNFERENCIAS
ATT: DAVID ARISTIZABAL GALLEGO GRUPO 15
Ejercicio # 8
Por el punto de contacto A de dos circunferencias tangentes exteriores se traza las cuerda BAC y B'AC' demostrar q las tangentes en B y C son paralelas
HIPOTESIS:
A es el punto de intersección de c(o,r) y c(o' r')
BAC Y B'AC son cuerdas
TESIS:
BB' II CC'
DEMOSTRACIÓN:
1. El ángulo B' es igual al arco BA por ser ángulo inscrito.
2. El ángulo R' es igual al arco B'A por ser ángulo semi-inscrito.
3. El ángulo C' es igual al arco CA por ser ángulo inscrito.
4. El ángulo Q es igual al arco CA por ser ángulo semi-inscrito.
5. El ángulo Q es igual al ángulo R' por ser ángulos opuestos por el vértice.
6. el ángulo B' es igual al ángulo C' por propiedad Transitiva en 1,2,3,4,5.
7. BB' II CC' por tener 2 ángulos alternos internos igual.
Ejercicio # 27
Por el punto de contacto de A de dos Circunferencias se traza una cuerda BAC probar que BB' ll CC'
HIPOTESIS:
A es el punto de intersección de c(o,r) y c(o' r')
BAC cuerda
BB' es perpendicular a OB y CC' es perpendicular a CO'. Tangentes en B y C
TESIS:
BB ' II CC'
DEMOSTRACION:
1 El triangulo BOA es isósceles y el triangulo CO'A es isósceles por ser triángulos con 2 lados radios de una circunferencia.
2. El ángulo OBA es igual al ángulo OAB, el ángulo OAC es igual al angulo O'CA, ya que en todo triangulo a lados iguales se oponen ángulos iguales.
3. El ángulo OAB es igual al ángulo O'AC por ser ángulos opuesto por el vértice.
4.el ángulo OBB' es igual al ángulo O'CC' por ser suma de ángulos congruentes, por # 3 e hipótesis.
5. BB' II CC' por ser BB´ y CC´ líneas que poseen ángulos alternos internos iguales y congruentes
oscar fernando giraldo
grupo 17 horario 11-13
ejercicios 14, 20
14-sea r el radio dela circunferencia interna, y R el radio de la circunferencia externa. la tangente y el radio en una curcunferencia son perpendiculares en el punto de tangencia.
toda cuerda perpendicular al radio es bisecada en el punto de interseccion
AB y CD son iguales si equidistan del centro, dichas cuerdas equidistan al ser tangentes del mismo circulo
del teorema : dos cuerdas som congruentes si y solo si estan a igual distancia del centro de esta.
de el anterior teorema podemos decir que AB es igual y congruente a CD ya que toda cuerda de la mayor que sea tengente de la menor equidista del centro
ejercicio 20
luego de efectuar lo indicado en el ejercicio, como construccion auxiliar se traza la linea MC formando el triangulo isocseles AMD de igual forma se traza la linea MC formando el triangulo isocseles DMC ambos triangulos con el lado MD comun por tanto MC igual MA formando el triangulo isocseles si a este le trazamos la altura que es perpendicular a AC y por tanto la biseca.
para demostrar que la proyeccion de la altura pasa por el centro.
con el teorema que dice : la linea que pasa por el centro de una cirunferencia y es perpendicular a una cuerda la biseca.
del teorema concluimos que la linea OM es una proyeccion de la altura del triangulo AMC
oscar fernando giraldo
grupo 17 horario 11-13
ejercicios 14, 20
14-sea r el radio dela circunferencia interna, y R el radio de la circunferencia externa. la tangente y el radio en una curcunferencia son perpendiculares en el punto de tangencia.
toda cuerda perpendicular al radio es bisecada en el punto de interseccion
AB y CD son iguales si equidistan del centro, dichas cuerdas equidistan al ser tangentes del mismo circulo
del teorema : dos cuerdas som congruentes si y solo si estan a igual distancia del centro de esta.
de el anterior teorema podemos decir que AB es igual y congruente a CD ya que toda cuerda de la mayor que sea tengente de la menor equidista del centro
ejercicio 20
luego de efectuar lo indicado en el ejercicio, como construccion auxiliar se traza la linea MC formando el triangulo isocseles AMD de igual forma se traza la linea MC formando el triangulo isocseles DMC ambos triangulos con el lado MD comun por tanto MC igual MA formando el triangulo isocseles si a este le trazamos la altura que es perpendicular a AC y por tanto la biseca.
para demostrar que la proyeccion de la altura pasa por el centro.
con el teorema que dice : la linea que pasa por el centro de una cirunferencia y es perpendicular a una cuerda la biseca.
del teorema concluimos que la linea OM es una proyeccion de la altura del triangulo AMC
33. Por un extremo A de un diámetro AB de una C(O; r) se traza una cuerda AC ; y por el extremo B se traza la tangente a la circunferencia. Se traza la bisectriz del ángulo CAB que corta a la cuerda BC en F, a la circunferencia en H y a la tangente en D. Demostrar que BD=BF y FH=HD.
Hipótesis: C (o,r)
AF: bisectriz Angulo CAB
A, F, H, D COLINEALES
BD TANGENTE EN B
TESIS
FH = HD
BD=BF
DEMOSTRACION:
1) ANG BAF + ANG BDE =90, ANG BDF= 90-ANG BAF /POR SER TRIANGULO ABD RECTO
2) ANG CAF + ANG AFC = 90, ANG CAF = 90 – ANG AFC /POR SER TRIANGULO BAC RECTO EN C, ANG ACB = 90 ANG INSCRITO EN MEDIA CIRCUNFERENCIA
3) ANG BAF = ANG CAF / POR SER AF BISETRIZ
4) ANG CAF = ANG BDF / TRANSITIVIDAD EN 1-2-3
5) BD = BF / EN TODO TRIANGULO A ANG IGUALES SE OPONEN LADOS IGUALES
6) ANG BHA = 90 / POR SER ANG BAH INSCRITO EN MEDIA CIRCUNFERENCIA
7) BH MEDIANA / EN TODO TRIANGULO ISOSCELES LA ALTURA ES MEDIANA
8) FH = HD / POR RAZON 7
26. En una semicircunferencia de diámetro AB se traza una cuerda AC tal que el ángulo BAC=20° y se traza la tangente XDY perpendicular a AC Calcular los valores de los ángulos ADX y BDY.
Hipótesis:
ANG BAC= 20
XDY TAN EN D
XDY PARALELA A AC
TESIS
HALLAR ANGADX Y ANG CDY
DEMOSTRACION:
1) ARCO BC= 40 / TODO ANG INSCRITO TIENE POR VALOR LA MITAD DEL ARCO QUE SUBTIENDE
2) ARCO AC = 140 / ARCO AC= ARCO AB – ARCO BC , ARCO AC=180-140 ARCO AC=40
3) ARCO AD = ARCO BC ARCO AD= ARCO BC = 140/2 = 70 /EN TODA CIRCUNFERENCIA CUERDAS PARALELAS INTERCEPTAN ARCOS IGUALES
4) ARCO BD= ARCO DC + ARCO CB = 70+40 ARCO DB = 110 / POR SUMA DE ARCOS
5) ANG BDY= 110/2 = 55
ANG ADX=70/2 = 35 / TODO ANDULO SEMIINSCRITO TIENE POR VALOR LA MITAD DER ARCO QUE SUBTIENDE
6) PRUEBA ANG ADX + ANG BDY = 55+35 =90 / SUMA DE ANGULOS
7) COMO ANG ADB = 90 / POR SER ANGULO INSCRITO QUE SUBTIENDE MEDIA CIRCUNFERENCIA
Profesor Guillermo quisiera saber si usted va a volver al poli necesito localizarlo le agradeceria si me colabora, soy la estudiante del grupo 15 Estefania Muñoz.... mi correo es nia-4365@hotmail.com...
Muchas Gracias
Exitos
como se hace el 32?
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